Opracowanie wyników badań

Andrzej Purczyński

Zadanie

Dla podanych danych x_i i y_i znaleźć funkcje najmniejszych kwadratów odchyleń dla prostych w układach liniowym, półlogarytmicznym oraz logarytmicznym. Obliczyć współczynniki korelacji danych w tych układach. Przedstawić funkcje i dane na wspólnym wykresie w układzie liniowym.

Wzory:

Oznaczenia:
x_i, y_i - dane wartości zmiennej niezależnej x i zmiennej zależnej y;
i - zmienna opisana na podzbiorze liczb naturalnych od 1 do n;
n - liczba danych;
a - współczynnik przesunięcia prostej;
b - współczynnik kierunkowy prostej;
s_x - odchylenie standardowe wartości zmiennej niezależnej;
s_y - odchylenie standardowe wartoiści zmiennej zależnej.

Tabele obliczeń i wyników

Dane i obliczenia sum - elementów wzorów zależności liniowej
i	x_i	y_i	x_i²	y_i²	x_iy_i
1	1,2	12,4	1,44	153,76	14,88
2	1,5	7,2	2,25	51,84	10,80
3	2,2	3,6	4,84	12,96	7,92
4	2,5	3,0	6,25	9,00	7,50
5	3,2	2,5	10,24	6,25	8,00
6	3,5	1,8	12,25	3,24	6,30
7	4,2	1,4	17,64	1,96	5,88
8	4,5	1,0	20,25	1,00	4,50
9	5,2	0,8	27,04	0,64	4,16
10	5,5	0,2	30,25	0,04	1,10
Sumy:	33,5	33,9	132,45	240,69	71,04

Wartość średnia arytmetyczna x_śr = 3,35
Wartość średnia arytmetyczna y_śr = 3,39
Odchylenie standardowe dla x przy n=10 stopniach swobody s_x = 1,42
Odchylenie standardowe dla y przy n=10 stopniach swobody s_y = 3,55
Współczynnik korelacji r = -0,84
Współczynniki prostej regresji: a = 10,43; b = -2,1
Równanie prostej regresji: y = 10,43 - 2,1 x

Dane i obliczenia sum - elementów wzorów zależności liniowej w układzie półlogarytmicznym
i	x_i	log(y_i)	x_i²	log²(y_i)	x_ilog(y_i)
1	1,2	1,09	1,44	1,1956	1,3121
2	1,5	0,86	2,25	0,7350	1,2860
3	2,2	0,56	4,84	0,3095	1,2239
4	2,5	0,48	6,25	0,2276	1,1928
5	3,2	0,40	10,24	0,1584	1,2734
6	3,5	0,26	12,25	0,0652	0,8935
7	4,2	0,15	17,64	0,0214	0,6137
8	4,5	0,00	20,25	0,0000	0,0000
9	5,2	-0,10	27,04	0,0094	-0,5039
10	5,5	-0,70	30,25	0,4886	-3,8443
Suma:	33,5	2,99	132,45	3,2105	3,4471

Wartość średnia arytmetyczna x_śr = 3,35
Wartość średnia arytmetyczna y_śr = 0,30
Odchylenie standardowe dla x przy n=10 stopniach swobody s_x = 1,42
Odchylenie standardowe dla y przy n=10 stopniach swobody s_y = 0,48
Współczynnik korelacji r = -0,96
Współczynniki prostej regresji: log(a) = 1,39; a = 24,3; log(b) = -0,32; b = 0,47
Równanie prostej regresji: log(y) = 1,39 -0,32 x
Funkcja aproksymująca dane: y = 24,3 · 0,47^x

Dane i obliczenia sum - elementów wzorów zależności liniowej w układzie logarytmicznym
i	log(x_i)	log(y_i)	log²(x_i)	log²(y_i)	log(x_i)·log(y_i)
1	0,08	1,09	0,01	1,1956	0,0866
2	0,18	0,86	0,03	0,7350	0,1510
3	0,34	0,56	0,12	0,3095	0,1905
4	0,40	0,48	0,16	0,2276	0,1899
5	0,51	0,40	0,26	0,1584	0,2010
6	0,54	0,26	0,30	0,0652	0,1389
7	0,62	0,15	0,39	0,0214	0,0911
8	0,65	0,00	0,43	0,0000	0,0000
9	0,72	-0,10	0,51	0,0094	-0,0694
10	0,74	-0,70	0,55	0,4886	-0,5175
Suma:	4,78	2,99	2,74	3,21	0,46

Wartość średnia arytmetyczna x_śr = 0,48
Wartość średnia arytmetyczna y_śr = 0,30
Odchylenie standardowe dla x przy n=10 stopniach swobody s_x = 0,21
Odchylenie standardowe dla y przy n=10 stopniach swobody s_y = 0,48
Współczynnik korelacji r = -0,94
Współczynniki prostej regresji: log(a) = 1,31; a = 20,29; b = -2,11
Równanie prostej regresji: log(y) = 1,31 -2,11 log(x)
Funkcja aproksymująca dane: y = 20,29 ·x^-2,11

Tabelka z danymi x_i i y_i oraz wynikami obliczeń funkcji aproksymujących y
x_i	y_i	y=a·b^x_i	y=a·x_i^b	y=a+b·x_i
1,2	12,4	9,9	13,8	7,91
1,5	7,2	7,9	8,6	7,28
2,2	3,6	4,7	3,8	5,81
2,5	3,0	3,8	2,9	5,18
3,2	2,5	2,2	1,7	3,71
3,5	1,8	1,8	1,4	3,07
4,2	1,4	1,1	1,0	1,60
4,5	1,0	0,8	0,8	0,97
5,2	0,8	0,5	0,6	-0,50
5,5	0,2	0,4	0,6	-1,13

Graficzne opracowanie wyników

Wykresy funkcji wyznaczonych na podstawie danych doświadczalmych

Wnioski i spostrzeżenia

Z wykresów widać, że funkcja y = 20,29 x^-2,11 najlepiej przybliża położenie danych. Współczynnik korelacji dla tej funkcji w układzie logarytmicznym r = -0,94 jest niewiele mniejszy od współczynnika korelacji funkcji w układzie półlogarytmicznym r = -0,96. Należy jednak pamiętać, że obydwa te współczynniki dotyczą danych przekształconych (zlogarytmowanych), a nie danych uzyskanych bezpośrednio z doświadczenia.
Najgorzej wypada wykorzystanie zwykłego równania prostej do opisu przedstawionych danych.