Rys. 1. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa f(z)
i wartość dystrybuanty dla wartości z'
F(z') = zaznaczone pole pod krzywą f(z)
F(z') = P(Z ≤ z')
P(Z ≤ z') - prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zmienna losowa Z przyjmie wartość mniejszą albo równą określonej wartości z'. Przy czym z jest tzw. zienną standaryzowaną, dla której wartość oczekiwana jest równa zeru, a odchylenie standardowe jest równe jeden. W obliczeniach, dla rozkładu normalnego, dobrym estymatorem wartości oczekiwanej jest średnia arytmetyczna, a estymatorem (obciążonym) odchylenia standardowego jest pierwiastek średniego kwadratowego odchylenia od wartości oczekiwanej (s) z próbki. Przedstawione wielkości są opisane wzorami:
Przykład 1
Przyjęto, że prawdopodobieństwo uszkodzenia się transformatora w wyniku starzenia izolacji ma rozkład normalny. Obliczyć prawdopodobieństwo P uszkodzenia transformatora do 18 roku eksploatacji w wyniku starzenia się izolacji, jeśli średni czas pracy wynosi 16 lat, a oszacowanie odchylenia standardowego z próbki jest równe 4 lata (rys. 1).
Po standaryzacji: z' = (18 - 16)/4 = 0,5
z tablicy: F(0,5)= 0,6915
P ≈ 0,7
Przykład 2
Przyjęto, że prawdopodobieństwo uszkodzenia się transformatora w wyniku starzenia izolacji ma rozkład normalny. Obliczyć prawdopodobieństwo P uszkodzenia transformatora do 12 roku eksploatacji w wyniku starzenia się izolacji, jeśli średni czas pracy wynosi 16 lat, a oszacowanie odchylenia standardowego z próbki jest równe 4 lata (rys. 2).
Po standaryzacji: z' = |(12 - 16)|/4 = 1,0
z tablicy: F(1,0)= 0,8413
P ≈ 1 - 0,84 = 0,16
Przykład 3
Przyjęto, że prawdopodobieństwo uszkodzenia się transformatora w wyniku starzenia izolacji ma rozkład normalny. Obliczyć prawdopodobieństwo P uszkodzenia transformatora między 17 a 19 rokiem eksploatacji w wyniku starzenia się izolacji, jeśli średni czas pracy wynosi 16 lat, a oszacowanie odchylenia standardowego z próbki jest równe 4 lata (rys. 3).
Po standaryzacji: z' = (17 - 16)/4 = 0,25
z tablicy: F(0,25)= 0,5987
z" = (19 - 16)/4 = 0,75
z tablicy: F(0,75) = 0,7734
P(z' ≤ z ≤ z") = F(z") - F(z')
P ≈ 0,7734 - 0,5987 = 0,17
Przykład 4
Przyjęto, że prawdopodobieństwo uszkodzenia się transformatora w wyniku starzenia izolacji ma rozkład normalny. Obliczyć prawdopodobieństwo P, że transformator uszkodzi się między 12 a 20 rokiem eksploatacji w wyniku starzenia się izolacji, jeśli średni czas pracy wynosi 16 lat, a oszacowanie odchylenia standardowego z próbki jest równe 4 lata (rys. 4).
Po standaryzacji: z' = |(12 - 16)|/4 = 1,0
z tablicy: F(1,0)= 0,8413
z" = (20 - 16)/4 = 1,0
z tablicy: F(1,0) = 0,8413
P(z' ≤ z ≤ z") = F(z") - [1 - F(z')]
P ≈ 0,8413 - (1-0,8413) = 0,68