Andrzej Purczyński
Rozwiązanie ogólne
Do części toru prądowego zamkniętej w komorze gaszeniowej nie ma zwykle dostępu i ocena temperatury elementów tego toru jest utrudniona. Na podstawie pomiarów temperatury części zewnętrznych komory i danych jej budowy, można jednak oszacować spodziewaną wartość temperatury elementów zamkniętych wewnątrz komory.Obliczenia można wykonać posługując się metodami analitycznymi albo numerycznymi. Przy założeniu uproszczonego modelu komory, przedstawionego na rysunku, można wyznaczyć rozkład temperatury T(x) rozwiązując równanie bilansu cieplnego dla stanu cieplnie ustalonego.
Równanie bilansu ciepła dla elementu dx toru prądowego w stanie ustalonym i przy przepływie prądu przemiennego ma postać:
dq - dq1 - dq2 + q3 - q4 = 0
przy czym:
dq - ciepło wytworzone przez przepływ prądu;
dq1 - ciepło przejmowane przez otoczenie z powierzchni elementu dx toru;
dq2 - ciepło zużyte na nagrzanie elementu dx toru;
q3 - ciepło przekazywane przez przewodzenie do elementu dx toru;
q4 - ciepło odprowadzone przez przewodzenie z elementu dx toru.
Tn(0)=Tz dla x=0, P/2=-λnsn(dTn/dx)x=0;
Tn(xn)=Ts(xn) dla x=xn, (dTn/dx)x=xn=(dTs/dx)x=xn;
Ts(xs)=Tt(xs) dla x=xs, (dTs/dx)x=xs=(dTt/dx)x=xs;
Tt(xt)=Tk dla x=xt.
P - moc cieplna wydzielona w zestyku;
Tz - temperatura zestyku;
Tn - temperatura w nakłdce stykowej;
Ts - temperatura w styku;
Tt - temperatura w trzpieniu stykowym;
xn - grubość nakładki;
xs - długość obejmująca nakładkę i styk;
xt - długość od zestyku do wyjścia trzpienia z komory próżniowej;
Uzyskany z rozwiązania równania bilansu wzór na rozkład temperatury wzdłuż osi toru prądowego ma postać:
przy czym f1(x) jest funkcją pomocniczą określoną zależnością:
a f2(x) jest funkcją pomocniczą określoną zależnością:
temperaturę ustaloną wyznacza się z wzoru:
natomiast współczynnik a jest opisany wzorem:
W przedstawionych wzorach zastosowano oznaczenia:
Φ - strumień cieplny;
ρ - rezystywność materiału toru;
αo- współczynnik temperaturowy rezystancji;
λ - przewodność cieplna właściwa dla n-nakładki, s-styku, t-trzpienia;
s - przekrój poprzeczny;
A - jednostkowa powierzchnia boczna (obwód);
kr - współczynnik przejmowania ciepła przez promieniowanie;
kw - współczynnik wypierania prądu (naskórkowości);
To- temperatura otoczenia (tu: To=Te);
j - gęstość prądu.
Równanie określające temperaturę T w funkcji odległości x opisuje rozkład tej temperatury w zakresie xs<x<=xt, przy czym xt jest długością toru od zestyku do wyjścia trzpienia z komory. W miejscu tym jest mierzona temperatura Tk. Bardzo łatwo można to równanie dostosować do zakresów: xn<x<=xs oraz 0<x<=xn. W przypadku, gdy w torze prądowym nie ma nakładki należy podstawić xn=0 i Tun=Tus. Jeśli rozważany jest tor o stałym przekroju, to xn=xs=0 i Tun=Tus=Tut.
Temperaturę w zestyku Tz, określoną dla warunków, przy których powierzchnia rzeczywista styczności jest równa powierzchni pozornej; pozwala wyznaczyć równanie:
Przejmowanie ciepła przez otoczenie w próżni
Przewód nagrzewany prądem i zanurzony w gazie o bardzo niskim ciśnieniu oddaje ciepło do otaczających go elementów o niższej temperaturze. Przejmowana moc cieplna jest proporcjonalna do różnicy temperatur toru i (w przedstawionym modelu) osłony kondensacyjnej - ekranu.Współczynnik przewodności cieplnej w warunkach molekularnych kM dla współosiowych cylindrów o średnicach d i de > d, można wyznaczyć z zależności:
gdzie:
α - współczynnik akomodacji;
p - ciśnienie;
Λo - przewodność cieplna swobodnych cząstek gazu w temperaturze 273oK, dla powietrza Λo=1,23 W/(m2K Pa).
Obliczenia, nawet przy stosunkowo niskiej próżni (p=1x10-2Pa), pokazują, że wartość współczynnika kM jest przynajmniej o rząd mniejsza od wartości współczynnika przejmowania ciepła przez promieniowanie. Na tej podstawie w dalszej analizie pominięto moc cieplną oddawaną drogą molekularną.
Współczynnik przejmowania ciepła przez promieniowanie kr można oszacować z zależności:
przy czym:
σo - stała Stefana-Bolzmana;
ε - współczynnik emisyjności toru prądowego;
εe - współczynnik emisyjności ekranu;
Tu - temperatura ustalona toru długiego.
Ostatni wzór można uprościć gdy d<<de.
Korzystając z ostatniej zależności i równania podanego wcześnie na Tu, otrzymuje się zależność pomiędzy Tu i Te:
Zestyk - wewnętrzne źródło ciepła
W wyniku przepływu prądu na zestyku wydziela się ciepło, które powoduje dodatkowy wzrost temperatury. Jest on proporcjonalny do wartości rezystancji zestykowej. Na podstawie ustaleń R.Holm'a i P.Johannet'a dla styków czystych, górną granicę spodziewanej wartości rezystancji zestykowej można obliczyć na podstawie zależności teoretyczno-doświadczalnej:
gdzie:
H - twardość wg Brinell'a;
F - siła docisku styków;
ρ - rezystywność.
Porównanie wyników obliczeń z wynikami pomiarów
W tabelce zestawiono wyniki obliczeń temperatury środka jednolitego toru prądowego w próżni (p<1x10-2Pa) z wynikami pomiarów.| Natężenie prądu [A] | 300 | 400 | 500 | 600 |
| Temperatura obliczona [oK] | 344,3 | 364,7 | 393,2 | 417,7 |
| Temperatura pomierzona [oK] | 343,9 | 367,1 | 397,4 | 427,8 |
| Błąd względny [%] | 0,12 | 0,65 | 1,10 | 2,40 |
| Temperatura pomierzona Tk [oK] przy xk=0,439 m | 342,4 | 362,2 | 389,7 | 413,0 |
Aby ułatwić obliczenia napisany został program o nazwie TEMP-TOR, który można ściągnąć w formie spakowanej (29 kB). Program najlepiej uruchomić w systemie DOS lub w wersji pełnoekranowej w oknie systemu Windows.
Pstryknij tutaj nazwę programu: TEMP-TOR , aby go ściągnąć i zapisać na własnym dysku.
Dla celów dydaktycznych program można używać bezpłatnie.