| START | HISTORIA LICZYDŁA | ZLICZANIE JEDYNEK | LICZENIE NA LICZYDLE | PIERWIASTEK KWADRATOWY |

www..pl







"Pierwszakom i Starszakom"
Purand




                1. Najprostszy system liczbowy
                2. Liczby trójkątne
                3. Liczby kwadratowe
                4. Tabliczka mnożenia i dzielenie
                5. Bibliografia



1. NAJPROSTSZY SYSTEM LICZBOWY

System zapisu liczb nazywany jedynkowym ma tylko jedną cyfrę i nie jest nią zero "0" tylko jedynka "1". Prawdopodobnie jest on najwcześniejszym systemem jakim posługiwali się ludzie [4], a także - w ograniczonym zakresie; jedynym dostępnym zwierzętom. Cyfra zero jest w nim niepotrzebna.

Jako jedyny spośród różnych systemów wykazuje cechy systemu pozycyjnego, jak systemy dwójkowy (np. 1001 1101), lub dziesiętny1) (np. 65537) i jednocześnie systemu addycyjnego (od łac. additio tzn. dodawanie), jak system rzymski (np. MMXI).

Przykładowe zapisy liczby cztery w systemie jedynkowym:

  1. zapis pozycyjny: 1 x 10+ 1 x 11+ 1 x 12 1 x 13 (tu: wszystkie rzędy mają wartość jeden);
  2. zapis addycyjny: 1111 (tj. 1 + 1 + 1 + 1).

Alan Mathison Turing (1912-1954)
był angielskim matematykiem,
kryptologiem i prekursorem
informatyki.

W systemie jedynkowym operacje arytmetyczne można sprowadzić do mechanicznego obcinania (odejmowanie) lub dołączania (dodawanie). Podobnie jak w możliwie najprostszym abstrakcyjnym modelu komputera tzw. maszynie Turinga [1]

Zapis dużych liczb w tym systemie jest bardzo kłopotliwy i wymaga zapisywania długich ciągów jedynek jak pokazuje to rysunek z zapisaną liczbą 50 (pięćdziesiąt jedynek).

Zapis dużej liczby w systemie jedynkowym

Jeśli jednak ograniczymy się do stu cyfr, a każdą jedynkę będzie przedstawiał jeden koralik, to po nawleczeniu tych koralików na dziesięć prętów ułożonych kolejno jeden pod drugim w rzędach po dziesięć koralików; otrzymamy liczydło. Koraliki przesuwane ze strony prawej na stronę lewą - doklejamy (dodajemy), a przesuwane w drugą stronę, z lewej na prawą - odcinamy (odejmujemy). Wynik działań odczytujemy jako sumę wszystkich koralików po lewej stronie, niezależnie od pręta, na którym się znajdują, bowiem - jak już wspomniano - wszystkie rzędy mają taką samą wartość równą jeden.

Tak więc liczba 25 może być przedstawiona w systemie jedynkowym na liczydle w różny sposób. Wybrane z wielu cztery przykłady przedstawiają cztery rysunki (nr 1.01, 1.02, 1.03, 1.04).

Przykłady zapisu liczby 25 na liczydle w systemie jedynkowym

Nr 1.01.

Nr 1.02.

Nr 1.03.

Nr 1.04.

Przy tak ograniczonym zakresie liczb do stu można jednak poćwiczyć wiele działań arytmetycznych.

Dodawanie i odejmowanie można prowadzić na dowolnie wybranych prętach, jeśli tylko dysponujemy na nich koralikami, które możemy odpowiednio do wykonywanego działania przesuwać w lewo przy dodawaniu, lub przesuwać w prawo przy odejmowaniu.

Przykład dodawania 13 + 8 = 21Przykład odejmowania 23 - 11 = 12

Nr 1.05.(13)

Nr 1.06.(13+8=21)

Nr 1.07.(23)

Nr 1.08.(23-11=12)

Warto zwrócić uwagę na to, że koraliki przesuwamy starając się ułożyć je w jakiś regularny wzór. To znacznie ułatwia szybkie ich zliczanie!

Te same co poprzednio działania można przedstawić w takiej formie jak niżej, ograniczając się tylko do jednego koloru koralików.

Przykład dodawania 13 + 8Przykład odejmowania 23 - 11

Nr 1.09.(13)

Nr 1.10.(13+8=21)

Nr 1.11.(23)

Nr 1.12.(23-11=12)

Dzięki różnobarwnym koralikom łatwiej ocenimy ich liczbę i mniej jesteśmy narażeni na popełnienie błędu. Tym większą należy zwrócić uwagę na właściwy zakup liczydła, bowiem na rynku pojawiły się liczydła, które nie są wykonane właściwie, tak jak powinno być zrobione polskie liczydło szkolne.


1) - sposób liczenia na liczydle w systemie dziesiętnym przedstawiono w opracowaniu [3].








2. LICZBY TRÓJKĄTNE

Starożytni Grecy używali słowa gnomon (gr. γνωμων - znawca) na określenie wskazówki zegara słonecznego i elementu figury geometrycznej, który dodany do danej figury geometrycznej, nie zmieniał jej kształtu.

Na rysunku przedstawione są dwa gnomony dla kwadratu i trójkąta. Są to oznaczone innym kolorem fragmenty tych figur geometrycznych.

Kiedy na liczydle zaznaczymy kolejne liczby trójkątne [2] tak, aby długość w dodawanych wierszach wzrastała o jeden; gnomonami są same wiersze.

Liczby trójkątne na liczydle

Nr 2.01. (1)

Nr 2.02. (3)

Nr 2.03. (6)

Nr 2.04. (10)

Nr 2.05. (15)

Nr 2.06. (21)

Nr 2.07. (28)

Nr 2.08. (36)

Nr 2.09. (45)

Nr 2.10. (55)

Jeśli przez Δn oznaczymy n-tą liczbę trójkątną możemy napisać zależność na wielkość tej liczby:

Δn = ½(n+1)n

Na liczydle n-ta liczba trójkątna ma n rzędów, poziomów z koralikami po lewej stronie. A iloczyn dwóch kolejnych liczb n(n+1) jest zawsze podzielny przez dwa, bo zawsze jedna z nich jest parzysta a druga - nieparzysta.

Łatwo także można za pomocą liczydła pokazać, że suma pierwszych n liczb nieparzystych (Nr 2.11) jest równa n². Dowód tego twierdzenia był przeprowadzony przez indukcję jako jeden z pierwszych dowodów tego rodzaju w XVI w. Sprawdzamy przypadek początkowy i następnie zakładamy, że równość zachodzi dla sytuacji poprzedzającej.

1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)= n²+2n+1 = (n+1)²
1+3+5+...+(2n-1) = n²

Zależność ostatnią można jeszcze krócej zapisać używając znaku sumy Σ (grecka litera sigma):

Σ(2i-1) = n²

przy czym i przyjmuje kolejne wartości od 1 do n.

Suma liczb
nieparzystych
Sumy liczb równo odległych od siebie

Nr 2.11.
Σ(2i-1)=1+3+5+7+9

Nr 2.12. n=10, d=1
         c1=1, cn=10

Nr 2.13. n=5, d=2
         c1=1, cn=9

Nr 2.14. n=4, d=3
         c1=1, cn=10

Na rysunkach (Nr 2.12...14) pokazano sumy n liczb równo odległych od siebie. Stałą wartość o jaką się różnią od siebie kolejne liczby nazywamy różnicą postępu oznaczoną literą d. Poszczególne liczby to wyrazy postępu arytmetycznego (c1, c2, c3, ..., ci, ..., cn-1, ..., cn).

Suma n wyrazów takiego postępu jest równa iloczynowi liczby wyrazów n przez połowę sumy z dwóch wyrazów; pierwszego c1 i ostatniego cn.

Σci = n · ½(c1 + cn)

przy czym i zmienia się od 1 do n o wartość d.

Sumy wynoszą więc odpowiednio:

        1. dla Nr 2.12, Σc10 = 10·½(1+10) = 55;
        2. dla Nr 2.13. Σc 5 = 5·½(1+ 9) = 25;
        3. dla Nr 2.14. Σc 4 = 4·½(1+10) = 22.

Z punktu widzenia sum wyrazów postępu arytmetycznego i formy liczby (trójkątne) przedstawione na rysunkach 2.11 i 2.13 nie różnią się.








3. LICZBY KWADRATOWE

Liczby kwadratowe, inaczej nazywane kwadratami, są tworzone na liczydle, gdy sumujemy tyle samo jednakowych wierszy (liczb), ile każdy z nich ma koralików (kolumn).

Na omawianym liczydle można przedstawić dziesięć liczb kwadratowych: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Tylko liczby 1 i 36 są jednocześnie liczbami trójkątnymi. Na rysunkach od 3.01 do 3.04 przedstawiono niektóre z liczb kwadratowych.

Liczby kwadratowe

Nr 3.01. 3 x 3 = 9

Nr 3.02. 6 x 6 = 36

Nr 3.03. 8 x 8 = 64

Nr 3.04. 10 x 10 = 100

Gnomony tworzące kolejne liczby kwadratowe mają kształt odwróconej litery L o równych ramionach. Każdy taki gnomon ma nieparzystą liczbę koralików. W ten sposób kolejne liczby kwadratowe powstają po dodaniu kolejnych liczb nieparzystych (3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19):

        • 1 + 3 = 4;
        • 4 + 5 = 9;
        • 9 + 7 = 16;
        • 16 + 9 = 25;
        • ...
        • 81 + 19 = 100.

To jeszcze raz przedstawia wcześniej udowodnione twierdzenie, że poczynając od jeden, sumy kolejnych liczb nieparzystych dają liczby kwadratowe.

n² + (2n+1) = (n + 1)²

Ponadto widać, że kolejne liczby kwadratowe są na przemian nieparzyste i parzyste.

Dowolną n-tą liczbę Ln k-kątną można wyznaczyć z wzoru:

Ln=n + ½(k-2)(n-1)n

Przykładowo dziesiąta liczba kwadratowa (n=10, k=4) równa się 100, a dziesiąta liczba trójkątna (n=10, k=3) równa się 55.

Nazwa liczby wielokątne nawiązuje do układów koralików badanych co najmniej od czasów Pitagorasa [2]. Przemieszczanie koralików na liczydle jest jednak ograniczone prętami, na których są one nanizane, dlatego już przedstawianie liczb pięciokątnych jest bardzo kłopotliwe.








4. TABLICZKA MNOŻENIA I DZIELENIE

Tabliczka mnożenia na liczydle przedstawia koraliki w układach prostokątnych. Liczbę mnożoną (tzw. mnożna) odliczamy na jednym z rzędów (wierszy) liczydła. Liczba przez którą mnożymy (tzw. mnożnik) wyznacza liczbę rzędów w których powtarzamy koraliki odliczone dla mnożonej. Suma wszystkich przesuniętych w ten sposób koralików daje wynik mnożenia (tzw. iloczyn).

Na rysunkach nr 4.01 i 4.02 pokazano dwa przykłady mnożenia w układzie jedynkowym. Zwraca uwagę to, że iloczyn otrzymujemy w formie, którą przez analogię do poprzednio przedstawionych liczb trójkątnych i kwadratowych, możemy nazwać liczbą prostokątną. W geometrii kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta. W tej sytuacji możemy także uważać, że wszystkie liczby kwadratowe są iloczynami gdy mnożna i mnożnik są takie same.

Mnożenie

Nr 4.01. (3 x 4 = 12)

Nr 4.02. (8 x 7 = 56)

Nr 4.03. (4 x 3 = 12)

Nr 4.04. (7 x 8 = 42)

Na rysunkach 4.03 i 4.04 pokazano te same iloczyny, ale mnożna została zamieniona z mnożnikiem. Liczba koralików wyznaczająca iloczyn nie zmienia się, tylko prostokąt z koralików jest zamiast w pionie ułożony w poziomie.

Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia. Znana jest liczba wszystkich koralików (tzw. dzielna), którą należy podzielić na liczbę rzędów liczydła określoną przez tzw. dzielnik. W rezultacie powinniśmy otrzymać tzw. iloraz równy liczbie koralików w dowolnym rzędzie, jeśli tylko wszystkie rzędy mają równe liczby koralików - tworzą prostokąt. Na liczydle operację tę wykonujemy mechanicznie, tworząc z koralików określonych liczbą dzielnej prostokąt o jednym boku (tu: pionowym) wyznaczonym przez dzielnik.

Przykład dzielenia liczby 72 : 8 pokazują rysunki 4.05 i 4.06.

Dzielenie

Nr 4.05.
(72 : 8 = 1 + ..)

Nr 4.06.
(72 : 8 = 9)

Nr 4.07.
(42 : 6 = 7)

Nr 4.08.
(42 : 8 = 5 reszta 2)

Najpierw odliczamy koraliki wyznaczając liczbę rzędów na które dzielimy, tu: 8 (Nr 4.05). Następnie dodajemy do nich kolejno koraliki, aż ich liczba będzie równa liczbie dzielnej (tu:72). Wynik odczytujemy w dowolnym rzędzie, gdyż wszystkie one mają taką samą liczbę koralików.

Na rysunku 4.07 pokazano dzielenie liczby 42 na 6 rzędów.

Może się jednak i tak zdarzyć, że nie da się podzielić koralików dzielnej równo na wszystkie rzędy wymagane przez dzielnik. Wtedy, tak jak pokazano to na rysunku 4.08, pozostaje reszta. W prostokątnym układzie łatwo zauważyć, która z kolumn nie została obsadzona w rzędach do końca. Ta ostatnia kolumna wyznacza resztę z dzielenia, a iloraz, jak poprzednio, określają kolumny w pełni obsadzone koralikami - tworzące prostokąt.







5. BIBLIOGRAFIA

  1. Jedynkowy system liczbowy - witryna internetowa
  2. Conway J.H., Guy R.K., Księga liczb, WNT, Warszawa 1999
  3. Purand, Liczenie na liczydle - w systemie dziesiętnym
  4. Puran, Historia liczydła (skrót) - www.purand.pl