Wytyczanie kąta prostego za pomocą liny

Prawdopodobnie już Egipcjanie wykorzystywali właściwość boków trójkąta prostokątnego do wyznaczania kąta prostego przy podstawie piramid. Na dowolnie długiej linie wiązano węzły w odległościach zgodnych z proporcją 3:4:5. Następnie obydwa końcowe węzły mocowano palikiem w jednym punkcie (na rysunku pkt. A).

Wytyczanie kąta prostego
za pomocą liny

W kierunku boku podstawy piramidy naciągano linę i mocowano w punkcie B, a po naciągnięciu pozostałych odcinków liny przytrzymywanej w węźle C, otrzymywano trójkąt prostokątny jak pokazano na rysunku.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: suma (pól) kwadratów (na) długości przyprostokątnych (4²+ 3²) jest równa kwadratowi (na) długości przeciwprostokątnej (5²).

4² + 3² = 5²

Liczby 3:4:5 tworzą tzw. trójkę pitagorejską - trzy liczby naturalne, które geometrycznie tworzą trójkąt prostokątny. Do tego zestawu można dołączyć jeszcze liczbę doskonałą² 6, określającą pole takiego trójkąta.

W słynnym dziele Euklidesa (325 - 265 r. p.n.e.) zatytułowanym Elementy, które było najważniejszym podręcznikiem matematycznym przez dwa tysiąclecia, znajduje się przepis na znajdywanie różnych trójek pitagorejskich¹:

• należy wybrać dwie dowolne liczby naturalne (np. 3 i 2);
• obliczyć różnicę ich kwadratów (np. 3²-2²=9-4=5);
• wyznaczyć dwukrotną wartość ich iloczynu (np. 2×3×2=12);
• obliczyć także sumę ich kwadratów (np. 3²+2²=9+4=13);
• wyniki obliczeń dają trójkę pitagorejską (tu np. 5:12:13).

Można sprawdzić, że 5² + 12² = 13².