Objętości stożka (Vs) i kuli (Vk) wpisanych w walec (Vw)
Na rysunku zaznaczono wzory do wyznaczana objętości stożka i kuli oraz walca opisanego na tych dwóch bryłach.
Porównanie objętości wymienionych trzech brył obrotowych określa proporcja:
Archimedes wiedział jak wyznaczyć objętości stożka, walca i kuli. Prawdopodobnie znał już wówczas zasadę, którą dopiero w XVII w. sformułował włoski matematyk Bonaventura F. Cavalieri (1598-1647). Zasada ta stanowi, że:
Jeśli krojenie dwóch brył równoległymi płaszczyznami daje przekroje o równych polach, to bryły te mają jednakową objętość.
 |  |
| Dwie bryły o jednakowej objętości (Zasada Cavalieriego) | |
Archimedes prawdopodobnie też porównał przekroje dwóch brył. Jedną mogła być półkula, a drugą walec z wydrążeniem w kształcie stożka. Na rysunku zaznaczono przekroje obu figur płaszczyzną równoległą do podstaw półkuli i walca oraz przecinającą obie bryły w odległości h.
Można zauważyć, że górna płaszczyzna cięcia walca i kuli (h=0) daje obydwa przekroje równe polu koła o promieniu r, a dolna płaszczyzna cięcia (h=r) przechodzi przez wierzchołek półkuli i krawędź cylindryczną walca. Powierzchnie przekrojów tych miejsc są równe zeru. Ponieważ x²=r²-h², co wynika z twierdzenia Pitagorasa, to zaznaczony przekrój kuli w postaci koła jest równy powierzchni przekroju drugiej bryły w postaci pierścienia. Takie równości można uzyskać dla każdej wysokości cięcia h od 0 do r, a więc, na podstawie zasady Cavalieriego, obie bryły mają jednakową objętość. Stąd wynika, że objętość półkuli (Vpk) jest równa objętości walca o wysokości r (Vw) pomniejszonej o objętość wydrążonego stożka (Vs).
Vpk = Vw - Vs
Vpk = π·r²·r - 1/3·π·r²·r = 2/3πr³
A ponieważ na objętość kuli (Vk) składają się objętości dwóch półkul (2 × Vpk), to ostatecznie objętość kuli jest określona zależnością:
Wzór ten, pewnie zapisany innymi symbolami; Archimedes znał już ponad 2200 lata temu!