www.purand.pl

PENTOMINO - GEOMETRYCZNE UKŁADANKI PINO

Planimetria z elementami pentomina¹

Planimetria dotyczy figur geometrycznych na płaszczyźnie w odróżnieniu od stereometrii, która dotyczy brył w przestrzeni. Dalej poruszono trzy zagadnienia:

  1. Podobieństwo figur.
  2. Symetria na płaszczyźnie.
  3. Wyznaczanie pól figur płaskich.

1. PODOBIEŃSTWO FIGUR PŁASKICH

Figury podobne mają ten sam kształt. Oznacza to, że mają takie same wartości i kolejność kątów oraz jednakowe stosunki odpowiednich boków. Miarą podobieństwa jest skala określana właśnie przez stosunek boków. Dalej przedstawiono przykłady podobieństwa układów kamieni z poszczególnymi kamieniami pentomina. Skala w tym przypadku wynosi 3:1, a to oznacza, że układy są dokładnie trzy razy większe.

Podobieństwo nie zależy od położenia figury na płaszczyźnie.


F

I

L

N

P

T

U

V

W

X

Y

Z

UWAGA
Aby zobaczyć rozwiązanie wystarczy przesunąć wskaźnik myszki na rysunek.



F

← SPIS

I

← SPIS

L

← SPIS

N

← SPIS

P

← SPIS

T

← SPIS

U

← SPIS

V

← SPIS

W

← SPIS

X

← SPIS

Y

← SPIS

Z

← SPIS

Na kolejnym rysunku pokazano przykład figur płaskich niepodobnych.


Dwie figury geometrycznie niepodobne

Dlaczego pomimo pewnych cech podobieństwa, te figury nie są podobne?
Wyjaśnienie zawiera rysunek następny z figurami podobnymi.


Przykłady figur przystających i podobnych
k - skala podobieństwa

O takich samych figurach, które mogą być tylko różnie położone na płaszczyźnie, mówi się, że są przystające. Ich skala podobieństwa jest równa jeden.

Jeśli skala podobieństwa jest określona przez liczbę k, to stosunek pól figur podobnych jest równy k².

Na rysunku pola figur mniejszych zajmują 15 kwadratów (3×5). Pola figur podobnych większych dwa razy zajmują 60 takich samych kwadratów (12×5), tak więc stosunek pól wynosi cztery (60 ÷ 15 = 4), przy skali podobieństwa równej 2 (2²=4).


2. SYMETRIA FIGUR PŁASKICH

Na płaszczyśnie figury mogą mieć symetrię osiową lub symetrię środkową (punktową). Jeśli figura ma dwie prostopadłe do siebie osie symetrii, to punkt ich przecięcia jest środkiem symetrii tej figury.


Figura o symetriach osiowych (4 osie symetrii) i środkowej

Symetrię osiową łatwo sprawdzić zginając kartę wzdłuż osi i patrząc czy obie części figury dokładnie się nakrywają, czyli są przystające. Taką przystającą część nazywa się obrazem symetrycznym figury względem tej osi.

Kamienie pentomina oznaczone literami I oraz X, mają dwie prostopadłe osie symetrii. Mają więc też środek symetrii.

Kamień Z nie ma osi symetrii, ale ma środek symetrii pokazany na rysunku.


Wyznaczenie środka symetrii kamienia Z

Środek symetrii kamienia Z przecinają odcinki, na końcach których leżą punkty będące obrazami symetrycznymi punktów tego kamienia. Środek dokładnie leży w połowie każdego z tych odcinków.

Warto zauważyć, że w symetrii środkowej układ elementów obrazu symetrycznego jest taki sam jak elementów figury danej. W przypadku symetrii osiowej elementy obrazu symetrycznego następują po sobie w kolejności odwrotnej niż elementy figury danej. Łatwo się o tym przekonać, gdy przed lustrem złapiemy się prawą ręką za prawe ucho. Nasz obraz symetryczny (odbicie w lustrze) złapie się wtedy swoją lewą ręką za ucho lewe.
Dlatego przystawanie między elemetami figury i obrazu w symetrii środkowej nazywa się przystawaniem prostym, a w symetrii osiowej - przystawaniem odwróconym.

Cztery kamienie pentomina T, U, V oraz W mają po jednej osi symetrii, mają więc symetrię osiową ale nie mają symetrii środkowej. Pozostałe kamienie nie są symetryczne (F, L, N, P, Y).

Przykłady figur niesymetrycznych

3. POLA FIGUR PŁASKICH

  Pola figur płaskich są określane poprzez porównanie ich z polem kwadratu jednostkowego (kj). Jego bok jest równy 1 i stanowi najmniejsze pole, do którego odnosimy pola innych figur. Przykładowo jeśli pole figury równa się 60 kj, to znaczy, że na jej powierzchni musimy ułożyć 60 kwadratów jednostkowych aby przykryć dokładnie całą figurę. Ponieważ kwadraty jednostkowe mogą mieć różne rozmiary, np. 1 mm; 1 cm; 1 m, to na rysunkach zaznaczono te kwadraty.

Każdy kamień pentomino składa się z pięciu kwadratów jednostkowych.

Sposób wyznaczania pola figur bardziej złożonych, takich jak np. rysunek czapli, polega na sumowaniu kwadratów jednostkowych składających się na figurę. Sumowanie można sobie ułatwić dzieląc obszar na pola o znanych formach i przez zastosowanie odpowiednich wzorów.


Układ czapli z zaznaczonymi polami równoległoboku i prostokąta

Pole układu czapli składa się z pola prostokąta (2 × 4), pola równoległoboku (7 × 5) i kilku dodatkowych kwadratów. Kwadraty jednostkowe oznaczone kropką należy sumować osobno (17). Razem pole czapli jest równe: 8+35+17=60.

Do ułożenia rysunku czapli wykorzystano komplet kamieni pentomina (12 × 5).

Dla figur znacznie bardziej złożonych, sposób ten jest tym dokładniejszy, im mniejsze są kwadraty jednostkowe (kj).


¹ Bibliografia: