Purand

PENTOMINO
NA SZACHOWNICY I KRATKOWNICY

  1. POŁAMANA SZACHOWNICA

    W roku 1907 Henry Ernest Dudeney opisał w swojej książce "The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems" łamigłówkę, którą nazwał złamaną szachownicą.

    Wyobraźmy sobie, że szachownicę tworzy płyta sklejona z 64 sześcianów. Każdy o ściankach takich samych jak pola szachownicy. Jeśli odpowiednio pociąć taką szachownicę, tak aby pozostawić złączone bokami w różny sposób tylko po pięć sześcianów, to otrzyma się 12 tzw. kamieni pentomina (rys. 2). Szachownicę uzupełnia jeden kamień złożony z czterech sześcianów razem tworzących kwadrat - tetromino. Przykładowy sposób cięcia pokazuje rysunek 1. W centrum szachownicy zaznaczony jest kwadrat tetromino, który uzupełnia szachownicę, bowiem 12 kamieni × 5 zakrywa tylko 60 jej pól.


    Rys. 1. Układ szachownicy z kamieni pentomina i tetrominem kwadratowym w centrum

    Na kolejnym rysunku (rys. 2) pokazane są osobno uzyskane w ten sposób kamienie pentomina (12 × 5 = 60).

    Rys. 2. Kamienie pentomina uzyskane z szachownicy

    Kamienie te zwykle oznacza się literami przypominającymi ich kształt F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z. Dodatkowo w celu jednoznacznego zapisu położenia kamienia dodaje się współrzędne zaznaczonych punktów. Przykładowo położenie kamienia Y na rysunku 1 jest opisane przez: Yb1b4c2. Do jednoznacznego zapisu położenia kamienia X wystarczą współrzędne jednego punktu, dla kamienia I - wystarczą współrzędne dwóch punktów, a położenia pozostałych kamieni muszą być opisane współrzędnymi trzech punktów.

    Kamienie pentomina uzyskane z szachownicy mogą mieć także odwróconą kolorystykę (rys. 3). Kwadratowe tetromino pozostaje wtedy niezmienione, bo jego negatyw powstaje przez obrót, a całość tworzy drugi układ szachownicy (rys.4).

    Jeśli tetromino zachowa się w położeniu centralnym i pominięta zostanie kolorystyka pól, to matematycy zajmujący się grą w pentomino wyliczyli, że na szachownicy - kratkownicy, można uzyskać aż 65 różnych układów 12 kamieni pentomina, bez symetrycznych odbić i układów uzyskanych po obrotach (Dan E. Scott).

    Rys. 3. Kamienie pentomina uzyskane z szachownicy o odwróconej kolorystyce

    Rys. 4. Układ kamieni pentomina o odwróconej kolorystyce także tworzy szachownicę
  2. UKŁADY NA KRATKOWNICY

    Zabawa z pentomino plega na tworzeniu:

    Wybrane układy kamieni pentomina[2]



    Rys. 5. Prostokąty o wymiarach 20 × 3 (możliwe tylko 2 układy)


    Rys. 6. Przykładowy prostokąt o wymiarach 15 × 4 (możliwych 368 układów)

    Rys. 7. Dwa przykłady prostokątów o wymiarach 12 × 5 (możliwych 1010 układów)

    Rys. 8. Przykłady prostokątów o wymiarach 10 × 6 (możliwych 2339 układów)

    Wiele różnorodnych układów można znaleźć w książkach takich jak np. "Pentomina i tangramy. Zbiór łamigłówek", autorstwa Zdzisława Nowaka, wydawnictwo WH Horyzonty, Warszawa 1972, lub "Gry w figury" Roberta Hardego (właściwie Jacka Ciesielskiego), wydawnictwo KAW, Warszawa 1983.

    Wiele innych układów w formie ćwiczeń orientacji geometrycznej przedstawiono wraz z wybranymi rozwiązaniami w grupach tematycznych:

    1. Zwierzyniec
    2. Figury szachowe
    3. Środki transportu
    4. Obiekty różne
    5. Litery alfabetu i cyfry
    6. Planimetria z pentomino:
      • podobieństwo;
      • symetria;
      • pola figur płaskich.
    7. Stereometria z pentomino (w przygotowaniu)
  3. PROSTOPADŁOŚCIANY


    Rys. 9. Prostopadłościan o wymiarach 10 × 3 × 2 (możliwych 12 układów)


    Rys. 10. Prostopadłościan o wymiarach 6 × 5 × 2 (możliwe 264 układy)

    Rys. 11. Prostopadłościan 5 × 3 × 4 w trzech rzutach po obrotach o 180° wokół osi poziomej i pionowej
    (możliwych 3940 układów)


  4. GRA PENTOMINO

    Najprostsza gra dla dwóch zawodników polega na układaniu naprzemiennym kamieni na kratkowanej planszy 8 × 8 (kratkownicy), lub szachownicy o odpowiednich rozmiarach pól. Wygrywa ten, kto ostatni zmieści na planszy kolejny kamień pentomino.

    Do gry wystarczy prosty zestaw kamieni wycięty z kartonu. Wzorce kamieni można narysować i wyciąć z kartonu wykorzystując np. rysunek 12.


    Rys. 12. 12 kamieni pentomina łatwo narysować i wyciąć z tektury lub bristolu
    (najlepiej z paska 19 × 5 jednostek jw.)

    Jaśniejszym kolorem na rysunku 12 zaznaczono tetromino, przydatne w niektórych układach.

    Przykład klasycznej rozgrywki w pentomino pokazano na rysunkach od 13 do 15. Na każdy ruch składa się najpierw położenie kamienia przez gracza rozpoczynającego i następnie dołożenie kamienia przez gracza kończącego ruch.


    Rys. 13. Pozycja po trzecim ruchu zaczynającego (5 kamieni)

    Na kratkownicy (rys. 13) wytworzyły się dwa jednakowe obszary wolne, w których można ułożyć każdy z pozostałych kamieni. Jeśli teraz gracz kończący trzeci ruch położy kamień Na2a4b5, to gracz zaczynający kolejny ruch może nadal utrzymać jednakowe obydwa pola, układając kamień Y jak na rysunku 14.


    Rys. 14. Ułożenie kamieni N i Y przy zachowaniu jednakowych dwóch wolnych obszarów

    Teraz ułożenie kamienia F lub T pozostawia jeszcze miejsce na kamień P, ale P położony w kolejnym ruchu na drugim wolnym obszarze daje już wygraną graczowi rozpoczynającemu. Użycie kamienia P przez gracza kończącego ruch czwarty, także przegrywa, bowiem w piątym ruchu gracz rozpoczynający może ułożyć na drugim polu wolnym kamień F albo T w zależności od ułożenia kamienia P i uniemożliwić dalsze dokładanie.


    Rys. 15. Jedna z możliwości wygranej gracza rozpoczynającego

    Po ruchu piątym jak pokazano na rysunku 15, pozostaje wolne pole dla kamienia P, ale kamień ten już jest wykorzystany, a z pozostałych kamieni Z, T, I, żaden już na planszy się nie zmieści. Wygrywa więc gracz rozpoczynający układanie kamieni. Trzeba jednak zauważyć, że przegrywa nieco inne położenie kamienia 5. Pd7d8f7 w sytuacji z rysunku 15, bo gracz dokładający mógłby wtedy jeszcze zmieścić kamień T.

    Pokazana tutaj przykładowa partia kończy się po ułożeniu 9 kamieni albo - w przypadku wspomnianego błędu gracza rozpoczynającego - po ułożeniu 10 kamieni, co jest przeciętną tego rodzaju rozgrywek. Najdłuższa partia obejmuje 6 pełnych ruchów i ułożenie wszystkich dwunastu kamieni na kratkownicy.

    Najkrótsza rozgrywka jest pokazana na rysunku 16. Składa się z trzech ruchów-ułożeń wykonanych przez rozpoczynającego i dwóch ułożeń wykonanych przez dokładającego.

            1. L, V
            2. U, Y
            3. I (rys. 15)

    Wygrywa w tym przypadku zawodnik rozpoczynający grę.


    Rys. 16. Najkrótsza rozgrywka pentomino

    Jeśli jednak gracz rozpoczynający trzeci ruch położy kamień I o jedno pole dalej (Ig2g6), to wtedy wygra zawodnik dokładający, bo znajdzie jeszcze miejsce na kamień T (Te1f3g1).

    Aktualna siła obliczeniowa komputerów pozwala na rozpoznanie strategii optymalnych[4] w niektórych grach. Pentomino jest grą, w której gracz zaczynający, jeśli nie popełni błędu, to wygrywa (tab. 1).

    Tab. 1. Wyniki strategii optymalnych

    GraOszacowanie
    przestrzeni
    stanów
    Wynik
    zaczynającego
    Autor/zy
    rozwiązania
    Rok
    Kółko i krzyżyk103remis - -
    Młynek1010remisR. Gasser1993
    Czworaki1013wygranaJ.D.Allen
    V. Allis
    1988
    Pentomino1012wygranaH.K.Orman1996
    Warcaby angielskie5×1020remisJ. Schaeffer2007
    Szachy1043???

    Hilarie K. Orman podaje[3], że gracz rozpoczynający, przyjmując strategię optymalną, powinien jako pierwszy położyć kamień Ne3e5f6.

www.purand.pl

[1] Penszko M., Łamigłówki. Podróże w krainę matematyki rekreacyjnej, Prószyński i S-ka, Warszawa 2009
[2] Pentominoes, https://web.ma.utexas.edu/users/smmg/archive/1997/radin.html (2019_04_26)
[3] Hilarie K. Orman, Pentominoes: A First Player Win, Games of No Chance MSRI Publications Volume 29, 1996
[4] T. Goluch, Zastosowanie komputerów w dziedzinie wyszukiwania strategii optymalnych w grach logicznych, Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej Nr 31, XXII Seminarium ZASTOSOWANIE KOMPUTERÓW W NAUCE I TECHNICE’ 2012