|
SPIS
|
W roku 1907 Henry Ernest Dudeney (1857-1930) opisał w swojej książce "The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems" łamigłówkę, którą nazwał złamaną szachownicą (The Broken Chessboard).
Wyobraźmy sobie, że szachownicę tworzy płyta sklejona z 64 sześcianów. Każdy o ściankach takich samych jak pola szachownicy. Jeśli odpowiednio pociąć taką szachownicę, tak aby pozostawić złączone bokami w różny sposób tylko po pięć sześcianów, to otrzyma się 12 tzw. kamieni pentomina (rys. 2). Szachownicę uzupełnia jeden kamień złożony z czterech sześcianów razem tworzących kwadrat - tetromino. Przykładowy sposób cięcia pokazuje rysunek 1. W centrum szachownicy zaznaczony jest kwadrat tetromino, który uzupełnia szachownicę, bowiem 12 kamieni × 5 zakrywa tylko 60 jej pól.
Na kolejnym rysunku (rys. 2) pokazane są osobno uzyskane w ten sposób kamienie pentomina (12 × 5 = 60).
 |
 |
|---|---|
| Rys. 2. Kamienie pentomina uzyskane z szachownicy | |
Kamienie te zwykle oznacza się literami przypominającymi ich kształt F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z. Dodatkowo w celu jednoznacznego zapisu położenia kamienia dodaje się współrzędne zaznaczonych punktów. Przykładowo położenie kamienia Y na rysunku 1 jest opisane przez: Yb1b4c2. Do jednoznacznego zapisu położenia kamienia X wystarczą współrzędne jednego punktu, dla kamienia I - wystarczą współrzędne dwóch punktów, a położenia pozostałych kamieni muszą być opisane współrzędnymi trzech punktów.
Kamienie pentomina uzyskane z szachownicy mogą mieć także odwróconą kolorystykę (rys. 3). Kwadratowe tetromino pozostaje wtedy niezmienione, bo jego negatyw powstaje przez obrót, a całość tworzy drugi układ szachownicy (rys.4).
Jeśli tetromino zachowa się w położeniu centralnym i pominięta zostanie kolorystyka pól, to matematycy zajmujący się grą w pentomino wyliczyli, że na szachownicy - kratkownicy, można uzyskać aż 65 różnych układów 12 kamieni pentomina, bez symetrycznych odbić i układów uzyskanych po obrotach (Dan E. Scott).
 |
 |
|---|---|
| Rys. 3. Kamienie pentomina uzyskane z szachownicy o odwróconej kolorystyce | |
Układy na płaszczyźnie z kamieni tej układanki znano od dawna, ale szczególnie należy podkreślić dokonania amerykańskiego matematyka Solomona Golomba (1932-2016), który zainteresowanie tematem pobudził wykładem wygłoszonym w roku 1953 w Harvard Mathematics Club. Golomb napisał również książkę pt. "Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings wydaną w roku 1965 oraz wymyślił nazwy poliomino (polyominoes) i pentomino (pentominoes).
Do popularyzacji układanki w znacznym stopniu przyczynił się także artykuł Martina Gardnera (1914-2010) zamieszczony w Scientific American z listopada 1960 roku w jego stałej rubryce "Gry matematyczne".
W książce "Gry i figury" wydanej przez KAW w roku 1983 jej autor Robert Hardy (właściwie Jacek Ciesielski) proponuje dla układanki nazywę Pino.
W tej książce znajduje się także wkładka z szablonem do wycięcia i zrobienia własnego zestawu elementów. Można też skorzystać z propozycji przedstawionej tutaj.
Zabawa z pentomino polega na tworzeniu:
Wybrane układy kamieni pentomina[2]
 
Rys. 5. Prostokąty o wymiarach 20 × 3 (możliwe tylko 2 układy) | ||||
 Rys. 6. Przykładowy prostokąt o wymiarach 15 × 4 (możliwych 368 układów) | ||||
| ||||
| ||||
Wiele różnorodnych układów można znaleźć w książkach takich jak np. "Pentomina i tangramy. Zbiór łamigłówek", autorstwa Zdzisława Nowaka, wydawnictwo WH Horyzonty, Warszawa 1972, lub "Gry w figury" Roberta Hardego (właściwie Jacka Ciesielskiego), wydawnictwo KAW, Warszawa 1983.
Wiele innych układów w formie ćwiczeń orientacji geometrycznej przedstawiono wraz z wybranymi rozwiązaniami w grupach tematycznych:
 Rys. 9. Prostopadłościan o wymiarach 10 × 3 × 2 (możliwych 12 układów) | ||||||
 Rys. 10. Prostopadłościan o wymiarach 6 × 5 × 2 (możliwe 264 układy) | ||||||
| ||||||
Dodatkowo można prześledzić kolejne etapy budowy prostopadłościanu 5×4×3 wybierając odnośnik: Konstrukcja prostopadłościanu.
Najprostsza gra dla dwóch zawodników polega na układaniu naprzemiennym kamieni na kratkowanej planszy 8 × 8 (kratkownicy), lub szachownicy o odpowiednich rozmiarach pól. Wygrywa ten, kto ostatni zmieści na planszy kolejny kamień pentomino.
Przykład klasycznej rozgrywki w pentomino pokazano na rysunkach od 12 do 14. Na każdy ruch składa się najpierw położenie kamienia przez gracza rozpoczynającego i następnie dołożenie kamienia przez gracza kończącego ruch.
Na kratkownicy (rys. 12) wytworzyły się dwa jednakowe obszary wolne, w których można ułożyć każdy z pozostałych kamieni. Jeśli teraz gracz kończący trzeci ruch położy kamień Na2a4b5, to gracz zaczynający kolejny ruch może nadal utrzymać jednakowe obydwa pola, układając kamień Y jak na rysunku 13.
Teraz ułożenie kamienia F lub T pozostawia jeszcze miejsce na kamień P, ale P położony w kolejnym ruchu na drugim wolnym obszarze daje już wygraną graczowi rozpoczynającemu. Użycie kamienia P przez gracza kończącego ruch czwarty, także przegrywa, bowiem w piątym ruchu gracz rozpoczynający może ułożyć na drugim polu wolnym kamień F albo T w zależności od ułożenia kamienia P i uniemożliwić dalsze dokładanie.
Po ruchu piątym jak pokazano na rysunku 14, pozostaje wolne pole dla kamienia P, ale kamień ten już jest wykorzystany, a z pozostałych kamieni Z, T, I, żaden już na planszy się nie zmieści. Wygrywa więc gracz rozpoczynający układanie kamieni. Trzeba jednak zauważyć, że przegrywa nieco inne położenie kamienia 5. Pd7d8f7 w sytuacji z rysunku 14, bo gracz dokładający mógłby wtedy jeszcze zmieścić kamień T.
Pokazana tutaj przykładowa partia kończy się po ułożeniu 9 kamieni albo - w przypadku wspomnianego błędu gracza rozpoczynającego - po ułożeniu 10 kamieni, co jest przeciętną tego rodzaju rozgrywek. Najdłuższa partia obejmuje 6 pełnych ruchów i ułożenie wszystkich dwunastu kamieni na kratkownicy.
Najkrótsza rozgrywka jest pokazana na rysunku 15. Składa się z trzech ruchów-ułożeń wykonanych przez rozpoczynającego i dwóch ułożeń wykonanych przez dokładającego.
Wygrywa w tym przypadku zawodnik rozpoczynający grę.
Jeśli jednak gracz rozpoczynający trzeci ruch położy kamień I o jedno pole dalej (Ig2g6), to wtedy wygra zawodnik dokładający, bo znajdzie jeszcze miejsce na kamień T (Te1f3g1).
Aktualna siła obliczeniowa komputerów pozwala na rozpoznanie strategii optymalnych[4] w niektórych grach. Pentomino jest grą, w której gracz zaczynający, jeśli nie popełni błędu, to wygrywa (tab. 1).
Tab. 1. Wyniki strategii optymalnych
| Gra | Oszacowanie przestrzeni stanów | Wynik zaczynającego | Autor/zy rozwiązania | Rok |
|---|---|---|---|---|
| Kółko i krzyżyk | 103 | remis | - | - |
| Młynek | 1010 | remis | R. Gasser | 1993 |
| Czworaki | 1013 | wygrana | J.D.Allen V. Allis | 1988 |
| Pentomino | 1012 | wygrana | H.K.Orman | 1996 |
| Warcaby angielskie | 5×1020 | remis | J. Schaeffer | 2007 |
| Szachy | 1043 | ? | ? | ? |
Hilarie K. Orman podaje[3], że gracz rozpoczynający, przyjmując strategię optymalną, powinien jako pierwszy położyć kamień Ne3e5f6.
