Stereometria to geometria brył, w odróżnieniu od planimetrii, dotyczącej figur płaskich. Ścianki brył ograniczają fragment przestrzeni, której objętość staramy się mierzyć. W tym celu posługujemy się jednostkową objętością w postaci kostki do gry, czyli tzw. sześcianem jednostkowym. Wszystkie krawędzie sześcianu są równe i wszystkie jego ścianki są równe. Sześcian jednostkowy o krawędziach równych 1, będzie dalej nazywany kubikiem w skrócie kb. Ponieważ wymiar boku kubika może być różny: 1 mm; 1 cm; 1 m, to na rysunkach będą zaznaczane krawędzie kubików, aby łatwiej można było ocenić objętość brył nie przeliczając jednostek, np. metry na milimetry itp.
Prostopadłościan
Na fotografii niżej pokazano 12 kamieni pentomina w postaci połączonych kubików. Każdy kamień ma inny kształt i składa się z pięciu kubików.
Komplet 12 kamieni pentomina do układania brył
Z dwóch warstw przedstawionych na fotografii można ułożyć prostopadłościan o wymiarach: długość=6, szerokość=5, wysokość=2. Objętość (V) takiego prostopadłościanu jest równa V=6×5×2=60 kb, bo z tylu kubików jest złożony komplet dwunastu kamieni pentomina.
Kolejna fotografia pokazuje prostopadłościan o wymiarach 5×4×3 ułożony także z kompletu kamieni pentomina. Jego objętość równa się więc 60 kb.
Prostopadłościan (graniastosłup prosty)
Na rysunkach 9, 10 i 11 pokazano inne prostopadłościany uzyskane z kompletu kamieni pentomina. Z kamieni pentomina można budować bryły o różnych kształtach. Wiele ciekawych przykładów znajduje się na stronie Davida Goodgera "Solid Pentominoes: Puzzles & Solutions"¹.
Boks
Na rysunku pokazano tzw. boks, zbudowany z kompletu kamieni.
Boks - pudło bez pokrywy i dna
Przestrzeń całkowita (objętość całkowita Vbc), zajęta przez bryłę obejmuje przestrzeń pustą (Vbp) ograniczoną czterema ściankami i przestrzeń zajętą przez cztery ścianki bryły (objętość ścianek Vbs). Objętość całego boksu można wyznaczyć tak jak objętość prostopadłościanu:
Vbc = 7×5×3 = 105 kb
Tak samo - tylko uwzględniając inne wymiary - wyznacza się objętość przestrzeni pustej wewnątrz boksu:
Vbp = 5×3×3 = 45 kb
Łatwo teraz obliczyć objętość samych ścianek boksu:
Vbs = Vbc-Vbp
Vbs = 105-45 = 60 kb
Konstrukcja boksu
Schody
Inną ciekawą bryłą są schody wykonane także z kompletu kamieni pentomina.
Schody ułożone z kompletu kamieni pentomino
Aby ułatwić ułożenie tej bryły na rysunku pokazano rzut ścianki tylniej schodów i dwa rzuty boczne.
Rzuty boczne i tyłu schodów
Jak najprościej obliczyć pojemność tej bryły? Wystarczy wyobrazić sobie drugą taką samą bryłę obróconą o 180° wokół najdłuższej krawędzi i nałożoną od góry na pierwszą. W ten sposób otrzymuje się prostopadłościan o wymiarach 6×5×4 i objętości 120 kb. Ponieważ prostopadłościan powstał z dwóch takich samych brył, objętość schodów jest równa połowie objętości tego prostopadłościanu i wynosi 60 kb. To potwierdza wykorzystanie kompletu kamieni pentomina do zbudowania tych schodów.
Kolejne etapy budowy schodów można prześledzić na załączonych tutaj rysunkach.
Scena (dwumian stopnia 3)
Zwróćmy teraz uwagę na bryłę przypominającą scenę.
Scena zbudowana z dwóch ścian i podłogi
Całkowita przetrzeń tej sceny jest także prostopadłościanem, tu o wymiarach 5×5×5 i objętości całkowitej równej 125 kb. Przestrzeń samej sceny, bez ścianek i podłogi ma objętość 4×4×4 = 64 kb. Tak więc objętość samych ścianek wynosi 125-64=61 kb. Wynik pokazuje, że do ich zbudowania nie wystarczy komplet pentomina, który ma objętość 60 kb. I rzeczywiście, aby zbudować scenę trzeba ukryć w konstrukcji ścian i podłogi brak jednej kostki (kubika). Rozwiązanie pokazuje widok sceny od tyłu (kulis).
Widok sceny od kulis
Kolejne etapy budowy sceny z kamieni pentomina można prześledzić na zamieszczonych tutaj rysunkach.
Sześciany foremne utworzone na bazie sceny, stanowią dobrą ilustrację geometryczną zależności4:
Sześciany foremne o bokach a i b są puste. Podłoga i ścianki sceny zajmują więc objętość 3a²b+3ab² kubików (tu: 60 kb).
Do układania brył używa się zwykle kompletu 12 kamieni pentomina, ale nie zawsze jest to konieczne, a niekiedy nawet możliwe. Przykładem jest kolejna bryła w kształcie piramidy schodkowej.
Piramida
Piramidy mogą być schodkowe, albo gładkie stożkowe. Aby wyznaczyć objętości takich brył spróbujmy zastanowić się nad pewnym problemem budowniczych piramid.
Pewien faraon postanowił zbudować dla siebie piramidę. Było to w tak zamierzchłych czasach, że jeszcze nie istniała żadna inna piramida. Z wielkich sześciennych bloków kamiennych budowniczowie ułożyli piramidę schodkową przedstawioną na fotografii. Podstawa kwadratowa miała wymiar 5 jednostek, a wysokość 3 jednostki.
Piramida schodkowa
Jeśli wykorzysta się siedem kamieni pentomina, to poszczególne etapy budowy takiej piramidy można pokazać na rysunkach.
Etap 1
Etap 2
Etap 3
Etap 4
Objętość piramidy wynosiła więc 7×5=35 kb.
Faraon jednak był niezadowolony. Wysokość była dobra, ale chciał aby boki piramidy były gładkie i podstawa kwadratowa była o jeden wymiar większa, a wewnątrz znalazła się pusta komora grobowa wielkości jednego bloku sześciennego. Faraon był bardzo stary a skarbiec państwa pusty, więc budowniczowie nie mieli już czasu ani możliwości na sprowadzenie dodatkowych bloków kamiennych. Musieli ograniczyć się do tego co było dostępne. Postanowili poprzecinać sześcienne bloki tak, aby wypełniły załamania konstrukcji schodkowej.
Piramida gładka
Szkic zmian
Widok z boku
Czy budowniczym udało się spełnić wolę faraona pomimo braku dodatkowego materiału?
Wcześniej już pokazano w rozdziale o planimetrii, że trudno jest zbudować koło z kamieni pentomina. Jeszcze trudniej jest zbudować walec, który ma dwa koła jako podstawy. Można jedynie posłużyć się konstrukcją przybliżoną przedstawioną na fotografii poniżej.
Bryła wykonana z kamieni pentomina przypominająca walec "kanciasty" (właściwie jest to graniastosłup)
Aby uzyskać taką walcowatą bryłę ułożono trzy warstwy kamieni pentomina wg pokazanego na rysunku wzoru.
Trzy warstwy bryły walcowatej
Pojemność przedstawionej bryły wynosi 63 kb. Składa się na to komplet dwunastu kamieni (12×5=60 kb) i dodatkowe trzy kubiki, które widać jako brakujące w samym środku bryły po jednym w każdej z trzech warstw.
Pojemność walca, podobnie jak graniastosłupów prostych i pochylonych, jest obliczana przez pomnożenie pola jednej z podstaw - w przypadku walca jest to koło - przez wysokość bryły (h).
Dla bryły walca o wymiarach: promień r=2,5; wysokość h=3 pojemność jest równa V=3,14×2,5²×3≈59 kb.
Różnica wynika z niedoskonałości konstrukcji bryły, ale pewne przybliżenie pojemności można w ten prosty sposób uzyskać.
Zestawienie wzorów na pojemność brył
Bryły mające wiele ścian, których wszystkie wierzchołki leżą na dwóch płaszczyznach równoległych zwanych podstawami i których wszystkie krawędzie nie leżące na tych płaszczyznach są równoległe nazywa się graniastosłupami. Mogą być graniastosłupy proste o ścianach prostopadłych do podstawy i pochyłe. Wyróżnia się też tzw. graniastosłupy prawidłowe, których podstawami są figury foremne, np. kwadrat, trójkąt równoboczy itp. Objętość każdego graniastosłupa określa iloczyn jego pola podstawy (P) i wysokości (h).
Bryły obrotowe powstają przez obrót figury płaskiej dookoła osi. Walec tworzony jest przez obrót prostokąta dookoła jego boku. Pojemność walca oblicza się tak samo jak objętość graniastosłupów.
Graniastosłupy i walec
Bryły mające wiele ścian o wspólnym jednym wierzchołku i jednej podstawie nazywa się ostrosłupami. Ostrosłupy prawidłowe mają jako podstawę wielokąt foremny. Objętość każdego graniastosłupa określa iloczyn jego pola podstawy (P), wysokości (h) i ułamka 1/3.
Stożek jest bryłą obrotową, powstającą przez obrót trójkąta prostokątnego dookoła jednej z przyprostokątnych. Objętość stożka wyznacza się tak samo jak objętość ostrosłupa.
Ostrosłupy i stożek
Kula
W III w. p.n.e. w Syrakuzach na Sycylii żył Archimedes (286 - 212 p.n.e.) wybitny uczony, matematyk, astronom i konstruktor, stworzył podstawy statyki oraz hydrostatyki. Dał także początek wiedzy o liczbie określającej stosunek obwodu każdego koła do jego średnicy. Wyznaczał ją za pomocą przybliżonej wartości ułamka 22/7 (≈3,14), co wystarczało do wielu zastosowań technicznych. Niektórzy badacze są skłonni przypisywać Archimedesowi, lub jego uczniom, budowę mechanizmu z Antikithery - pierwszego w historii komputera mechanicznego do obliczeń zaćmień Słońca i Księżyca, położenia znanych wtedy pięciu planet oraz wschodów i zachodów wybranych gwiazd. Szczątki tego mechanizmu wydobyto z wraku okrętu handlowego w roku 1900, ale dopiero w roku 1974 rozpoznano jego przeznaczenie. Pochodzenie mechanizmu sięga prawdopodobnie III w.p.n.e., a jego skomplikowana konstrukcja budzi dzisiaj ogromny podziw.
Archimedes potrafił wyznaczyć objętość takich brył jak stożek, kula i walec. Za jedno ze swoich największych odkryć uważał określenie stosunku (2:3) objętości kuli do objętości walca, a właściwie cylindra, opisanego na kuli.
Podobno uczony zażyczył sobie, aby taka kula i walec znalazły się na jego grobie. Archimedes zginął zabity przez żołdaka rzymskiego po zdobyciu Syrakuz przez legiony Marcellusa.
Jak w prosty sposób wyznaczyć objętość kuli można dowiedzieć się z dołączonej notatki³ .
Stereometria to geometria brył, w odróżnieniu od planimetrii, dotyczącej figur płaskich. Ścianki brył ograniczają fragment przestrzeni, której objętość staramy się mierzyć. W tym celu posługujemy się jednostkową objętością w postaci kostki do gry, czyli tzw. sześcianem jednostkowym. Wszystkie krawędzie sześcianu są równe i wszystkie jego ścianki są równe. Sześcian jednostkowy o krawędziach równych 1, będzie dalej nazywany kubikiem w skrócie kb. Ponieważ wymiar boku kubika może być różny: 1 mm; 1 cm; 1 m, to na rysunkach będą zaznaczane krawędzie kubików, aby łatwiej można było ocenić objętość brył nie przeliczając jednostek, np. metry na milimetry itp.
określającej stosunek obwodu każdego koła do jego średnicy. Wyznaczał ją za pomocą przybliżonej wartości ułamka 22/7 (≈3,14), co wystarczało do wielu zastosowań technicznych. Niektórzy badacze są skłonni przypisywać Archimedesowi, lub jego uczniom, budowę mechanizmu z Antikithery - pierwszego w historii komputera mechanicznego do obliczeń zaćmień Słońca i Księżyca, położenia znanych wtedy pięciu planet oraz wschodów i zachodów wybranych gwiazd. Szczątki tego mechanizmu wydobyto z wraku okrętu handlowego w roku 1900, ale dopiero w roku 1974 rozpoznano jego przeznaczenie. Pochodzenie mechanizmu sięga prawdopodobnie III w.p.n.e., a jego skomplikowana konstrukcja budzi dzisiaj ogromny podziw.